Exercice 6
Dans cet exercice, nous nous proposons de voir comment il est possible de simuler des réalisations d’une loi puis de vérifier qu’elles sont bien issues de cette loi en ré-estimant les paramètres.
Proposer un algorithme basé sur la méthode par inversion, permettant de simuler la réalisation d’un échantillon de taille n d’une loi de Pareto de paramètres \(\lambda=2\) et \(k=5\). La densité de la loi de Pareto est la suivante : \(f(x)=k \frac{\lambda^k}{ x^{k+1}}\)).
Grâce à ce premier algorithme nous pouvons donc maintenant simuler un \(n\)-échantillon \(iid\) \(\boldsymbol{x}=x^(1), ...x^(n)\) suivant une loi de Pareto de paramètres \(\lambda=2\) et \(k=5\). Désormais, nous voulons vérifier que l’algorithme est valide et nous voulons ré-estimer le paramètre \(k\) ayant servi à simuler ces données. On suppose \(\lambda=2\) connu et fixé. Pour cela, nous allons appliquer des méthodes bayésiennes avec l’a priori suivant pour \(k\) : \(\pi(k)=\frac{1}{200}e^{-\frac{k^2}{2*100^2}}\mathbb{1}_{k\in]0,\infty[}\). Écrire le modèle bayésien associé puis calculer la loi a posteriori de \(k |\boldsymbol{x}\).
Expliquer brièvement la logique de l’acceptation/rejet en fonction de la loi instrumentale de proposition et de la loi que l’on veut échantillonner. Quelle simplification apparait en prenant pour loi instrumentale la loi a priori du paramètre? Comment appelle-t-on ce phénomène ?
Proposer un algorithme de Métropolis-Hastings indépendant pour échantillonner la loi a posteriori* de \(k | \boldsymbol{x}\). On prendra comme loi instrumentale la loi de \(k\).
Expliciter l’estimateur Bayésien \(\hat{E}(k|X_1,..., X_n)\) de \(k\) construit pour le coût quadratique.