Exercice 2
On observe les réalisations \(\boldsymbol{x} = \{x_1,\ldots,x_n\}\) d’une suite de variables aléatoires \(iid\) \(\{X_i\}_{i=1, \dots, n}\) positives suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) : \(\mathcal{E}(\lambda)\), où \(\lambda>0\) est inconnu et on cherche à l’estimer.
On rappelle la densité de probabilité pour la distribution exponentielle : \(f_\lambda(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) pour \(x>0\).
On utilise comme loi a priori sur \(\lambda\) la loi Gamma \(\mathcal G(\alpha,\beta)\) dont la densité s’écrit : \[ g(\lambda) = \lambda^{\alpha-1} \frac{\beta^\alpha e^{-\beta \lambda}}{\Gamma(\alpha)}\]
- Écrire est le modèle bayésien associé.
Question d’intérêt
Elle porte ici sur l’estimation de \(\lambda\).Modèle d’échantillonnage \[X_i\overset{iid}{\sim} \mathcal{E}(\lambda)\] et donc \(\displaystyle f(x_i|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x_i}\)
loi(s) a priori \[\lambda\sim\mathcal G(\alpha,\beta)\] (\(\alpha\) et \(\beta\) — les hyperparamètres — sont considérés connus).
- Pouvez-vous identifiez la loi a posteriori correspondante ?
D’après le théorème de Bayes, le numérateur de la loi a posteriori s’écrit : \[\begin{align*} p(\lambda | \boldsymbol{x}) &\propto f(x_1, \dots, x_n | \lambda) \quad g(\lambda)\\ &\propto \left(\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} \right) \quad \lambda^{\alpha-1} \frac{\beta^\alpha e^{-\beta \lambda}}{\Gamma(\alpha)}\\ &\propto \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \lambda^{\alpha-1} e^{-\beta \lambda}\\ &\propto \lambda^{\alpha + n -1} e^{-\left(\beta + \sum_{i=1}^n x_i\right)\lambda}\\ \end{align*}\]
On reconnaît là, à une constante (en \(\lambda\)) près la forme de la densité d’une loi Gamma de paramètres \(\alpha + n\) et \(\beta + \sum_{i=1}^n x_i\). On en déduit donc la loi a posteriori de \(\lambda\) :
\[\lambda | x_1, \dots, x_n \sim \mathcal G\left(\alpha + n, \beta + \sum_{i=1}^n x_i\right)\]
On remarque d’ailleurs que nous sommes dans une situation de conjugaison.